Комбинаторика

Решение.

Сначала вычислим количество маршрутов в центральную точку. Длина пути каждого маршрута равна восьми: четыре хода вправо и четыре хода вверх. Закодируем наш маршрут стрелками вверх и вправо. Тогда из восьми мест для стрелок нужно будет выбрать четыре для стрелок вверх. Количество способов это сделать составляет $C_8^4 = 70$. Аналогично найдем количество маршрутов из центральной точки в правый верхний угол, получим также $70$. Эти маршруты выбираются независимо, а значит, по правилу умножения получаем, что общее количество маршрутов равно $$70 \cdot 70 = 4900.$$

Решение.

Например, число сочетаний $C_5^2$ это количество способов выбрать два предмета из пяти. Предположим, что мы занумеровали предметы $\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$ и выбрали из них предметы с номерами $\{1,\ 2\}$. Этому способу выбрать два предмета соответсвует ровно один способ выбрать три предмета из пяти, а именно — выбрать оставшиеся предметы $\{3,\ 4,\ 5\}$.

Аналогично рассуждаем и в общем случае: каждому способу выбрать $k$ предметов из $n$ соответствует ровно один способ выбрать остальные $(n - k)$ предметов из $n$. Следовательно, $C_n^k = C_n^{n - k}$.

Треугольник Паскаля составлен из чисел сочетаний. Из полученного равенства можно сделать вывод, что треугольник Паскаля симметричен относительно своей медианы, которая совпадает с биссектрисой и высотой.

Решение.

Исследуем отношение значений нашей функции в двух соседних точках. Если при некотором $x$ окажется, что $\dfrac{C_N^{x + 1}}{C_N^x} \gt 1$, мы сделаем вывод, что $C_N^{x + 1} \gt C_N^x$, и функция $C_N^x$ возрастает при этом $x$. Если же окажется, что $\dfrac{C_N^{x + 1}}{C_N^x} \lt 1$, следовательно, $C_N^{x + 1} \lt C_N^x$, и функция $C_N^x$ убывает. Точка смены возрастания на убываение будет являться максимумом функции $C_N^x$.

Вспомним из урока про сочетания, что $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\ (n - k)!}$. Используем это равенство. Сокращая факториалы, получим $$ \dfrac{C_N^{x + 1}}{C_N^x} = \dfrac{N - x}{x + 1}. $$ Чтобы сравнить эту дробь с единицей, выделим единицу в явном виде: $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{N - x}{x + 1} = \\ =\dfrac{x + 1 + N - 1 - 2x}{x + 1} = \\ = 1 + \dfrac{N - 1 - 2x}{x + 1}. \end{gathered} \end{equation} $$ Рассмотрим случай, когда число $N$ нечетно, то есть $N = 2n + 1$. Получим, что $$\dfrac{C_N^{x + 1}}{C_N^x} = 1 + \dfrac{2(n - x)}{x + 1}.$$ Из этого равенства делаем вывод, что $$ \begin{equation} \begin{cases} C_{N}^{x + 1} \gt C_{N}^x,\ \text{при}\ x \lt n,\\ C_{N}^{x + 1} = C_{N}^x,\ \text{при}\ x = n,\\ C_{N}^{x + 1} \lt C_{N}^x,\ \text{при}\ x \gt n.\\ \end{cases} \end{equation} $$ Следовательно, наибольшее значение достигается в двух точках: при $x = n$ и $x = n + 1$. Например, рассмотрим график функции $C_7^x$. Видим, что он достигает наибольшего значения в двух точках: при $x = 3$ и $x = 4$ (сравните этот результат с треугольником Паскаля при $n = 7$).

Теперь рассмотрим случай, когда число $N$ четно, то есть $N = 2n$. Получим, что $$\dfrac{C_N^{x + 1}}{C_N^x} = 1 + \dfrac{2(n - x) - 1}{x + 1}.$$ Из этого равенства делаем вывод, что $$ \begin{equation} \begin{cases} C_{N}^{x + 1} \gt C_{N}^x,\ \text{при}\ x \leq n,\\ C_{N}^{x + 1} \lt C_{N}^x,\ \text{при}\ x \gt n.\\ \end{cases} \end{equation} $$ Следовательно, наибольшее значение достигается в единственной точке: при $x = n$. Рассмотрим график функции $C_8^x$. Он достигает наибольшего значения в точке $x = 4$.