Бином Ньютона

В этой статье мы разберем одно из приложений комбинаторики к задачам алгебры, а именно, мы научимся сегодня раскрывать скобочки в выражении $(a + b)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Для начала просто посмотрим, что получится, если раскрывать скобки по определению для не очень больших $n$.

Раскройте скобки в выражении $(a + b)^n$ при $n = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$.

Решение

Заметим, что $(a + b)^0$ по определению равно $1$. А для того, чтобы найти выражение для следующей степени, нужно выражение для предыдущей степени умножить на $(a + b)$. Проделаем это несколько раз. $$ \begin{equation} \begin{gathered} (a + b)^1 =\\a + b; \end{gathered} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \begin{gathered} (a + b)^2 =\\a^2 + 2ab + b^2; \end{gathered} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \begin{gathered} (a + b)^3 =\\a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3; \end{gathered} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \begin{gathered} (a + b)^4 =\\a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. \end{gathered} \end{equation} $$ Внимательный читатель уже начал что-то подозревать. Для большей наглядности запишем только правые части этих выражений. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 1,\\ a + b,\\ a^2 + 2ab + b^2,\\ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,\\ a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. \end{gathered} \end{equation} $$

Ответ: коэффициенты при раскрытии скобок в выражении $(a + b)^n$ при различных $n$ образуют треугольник Паскаля!

В статье про треугольник Паскаля мы убедились, что этот треугольник образован числами сочетаний. Подумаем, где в выражении $(a + b)^n$ спрятаны сочетания. Запишем определение степени: нам нужно перемножить $n$ скобок. $$(a + b)^n = \overbrace{(a + b) \ldots (a + b)}^{n\ \text{скобок}}.$$

Перемножая скобки, мы должны умножить каждое слагаемое в каждой скобке на все остальные. Если мы из каждой скобки выберем букву $a$ и перемножим их, у нас получится одночлен $a^n$. Заметим, что этот одночлен можно получить единственным способом: из каждой скобки взяв букву $a$.


А если из одной скобки взять $b$, а из других скобок взять $a$, то получится одночлен $a^{n - 1}b^1$. А сколько же таких одночленов будет при раскрытии всех скобок? Ровно столько, сколько существует способов выбрать одну скобку для буквы $b$ из $n$ скобок. Что в точности равно $C_n^1$. Это и будет коэффициент при одночлене $a^{n - 1}b^1$.


А какой коэффициент будет при одночлене $a^{n - 2}b^2$? Чтобы получить такую комбинацию, нужно из двух скобок взять букву $b$, а из остальных — букву $a$. Количество способов выбрать две скобки из $n$ равно $C_n^2$. Это и есть коэффициент при $a^{n - 2}b^2$.


Аналогичными рассуждениями получаем, что коэффициент при $a^{n - k}b^k$ равен $C_n^k$. После раскрытия скобок нам нужно будет сложить все полученные одночлены. Зафиксируем наш вывод. $$ \begin{equation} \begin{gathered} (a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n - 1}b^1 +\\ +C_n^2 a^{n - 2}b^2 + \ldots + C_n^n a^{0}b^n. \end{gathered} \end{equation} $$ В этом выражении степень числа $a$ с каждым слагаемым уменьшается на единицу, а степень числа $b$ — увеличивается на единицу. Более компактно эту формулу можно записать, используя обозначение суммы.

$$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k\ a^{n - k}\ b^k.$$

Эта запись означает, что индекс $k$ "пробегает" все целые числа от $0$ до $n$, увеличивась на единицу в каждом следующем слагаемом. Полученная формула называется биномом Ньютона ("бином" от лат. bis "дважды", так как мы раскрываем скобки с двумя слагаемыми).

Посмотрим, как бином Ньютона может пригодится при решении задач.

Найдите коэффициент при $x^6$ при раскрытии скобок в выражении $(x+1)^{10}$.

Решение

Степень $x^6$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из шести скобок $x$, а из остальных четырех скобок — число $1$. Количество способов выбрать четыре скобки для единиц из десяти скобок равно $C_{10}^4 = 210.$ Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$210 \cdot x^6 \cdot 1^4 = 210 x^6.$$

Ответ: $210$.

Задачи

Найдите коэффициент при $x^7$ при раскрытии скобок в выражении $(x-5)^{10}$.

Решение.

Степень $x^7$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из семи скобок $x$, а из остальных трех скобок — $(-5)$. Количество способов выбрать три скобки для $(-5)$ из десяти скобок равно $C_{10}^3 = 120$. Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$120 \cdot x^7 \cdot (-5)^3 = -15\ 000 x^7.$$

Ответ: $-15\ 000$.

Решение
Ответ

Найдите число $a$, если коэффициент при $x^3$ при раскрытии скобок в выражении $(x+a)^5$ равен $100$.

Решение.

Степень $x^3$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из трех скобок $x$, а из остальных двух скобок — $a$. Количество способов выбрать две скобки для $x$ из пяти скобок равно $C_{5}^2 = 10$. Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$10 \cdot x^3 \cdot a^2.$$ По условию задачи имеем уравнение $$10a^2 = 100.$$ Решив его, находим, что $a = \sqrt{10}$ или $a = -\sqrt{10}.$

Ответ: $\sqrt{10}$ или $-\sqrt{10}$.

Решение
Ответ

Найдите коэффициент при $x^4$ при раскрытии скобок в выражении $(3x - 2)^6$.

Решение.

Степень $x^4$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из четырех скобок $3x$, а из остальных двух скобок — $(-2)$. Количество способов выбрать две скобки для $(-2)$ из шести скобок равно $C_{6}^2 = 15$. Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$15 \cdot (3x)^4 \cdot (-2)^2 = 4\ 860x^4.$$

Ответ: $4\ 860$.

Решение
Ответ

Найдите коэффициент при $\dfrac{1}{x}$ при раскрытии скобок в выражении $\left(x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^{10}$.

Решение.

Будем записывать дробь $\dfrac{1}{x}$ в виде степени $x^{-1}$. Нам нужно выбрать слагаемые вида $x^2$ из такого количества скобок, чтобы в итоге у нас получилась степень $x^{-1}$. Обозначим буквой $n$ количество скобок, из которых мы будем выбирать слагаемые вида $x^2$. Тогда скобок, из которых мы выберем $\left(-x^{-1}\right)$, ровно $(10 - n)$. Слагаемое с нужной степенью $x^{-1}$ имеет вид $$\left(x^2\right)^n \cdot \left(-x^{-1}\right)^{10 - n}.$$ Нам нужно определить $n$ так, чтобы этот одночлен имел степень $(-1)$. Используем это условие и составим уравнение на переменную $n$: $$2n - (10 - n) = -1.$$ Отсюда находим $n = 3$. Итак, cтепень $x^{-1}$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из трех скобок $x^2$, а из остальных семи скобок — $(-x^{-1})$. Количество способов выбрать три скобки для $x^2$ из десяти скобок равно $C_{10}^3 = 120$. Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$120 \cdot (x^2)^3 \cdot (-x^{-1})^7 = -120 \cdot \dfrac{1}{x}.$$

Ответ: $-120$.

Решение
Ответ

Найдите коэффициент при $x^{121}$ при раскрытии скобок в выражении $\left(x^{11} + \dfrac{1}{x^7}\right)^{101}$.

Решение.

Нам нужно выбрать слагаемые вида $x^{11}$ из такого количества скобок, чтобы в итоге у нас получилась степень $x^{121}$. Обозначим буквой $n$ количество скобок, из которых мы будем выбирать слагаемые вида $x^{11}$. Тогда скобок, из которых мы выберем $\left(x^{-7}\right)$, ровно $(101 - n)$. Слагаемое с нужной степенью $x^{121}$ имеет вид $$\left(x^{11} \right)^n \cdot \left(x^{-7} \right)^{101 - n}.$$ Нам нужно определить $n$ так, чтобы этот одночлен имел степень $121$. Используем это условие и составим уравнение на переменную $n$: $$11n - 7(101 - n) = 121.$$ Отсюда находим $n = 46$. Итак, cтепень $x^{11}$ может получится, если при раскрытии скобок мы выберем из $46$ скобок $x^{11}$, а из остальных $55$ скобок — $(x^{-7})$. Количество способов выбрать $46$ скобкок для $x^{11}$ из $101$ скобки равно $C_{101}^{46}$. Следовательно, слагаемое с нужной степенью $x$ имеет вид $$ \begin{equation} \begin{gathered} C_{101}^{46} \cdot (x^{11})^{46} \cdot (x^{-7})^{55} =\\ = C_{101}^{46} \cdot x^{121}. \end{gathered} \end{equation} $$

Ответ: $C_{101}^{46}$.

Решение
Ответ

Вычислите $\sum \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k$.

Решение.

Раскроем скобки в выражении $(1 + 1)^{10}$. По биному Ньютона имеем $$(1 + 1)^{10} = \sum \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k \cdot 1^{10 - k} \cdot 1^k.$$ В левой части получаем $2^{10} = 1024$, а в правой — искомое выражение.

Ответ: $1024$.

Решение
Ответ

Вычислите $\sum \limits_{k = 0}^{100} (-1)^k \cdot C_{100}^k$.

Решение.

Раскроем скобки в выражении $(1 - 1)^{100}$. По биному Ньютона имеем $$ \begin{equation} \begin{gathered} (1 - 1)^{100} =\\ =\sum \limits_{k = 0}^{100} C_{100}^k \cdot 1^{100 - k} \cdot (-1)^k. \end{gathered} \end{equation} $$ В левой части получаем $0^{100} = 0$, а в правой — искомое выражение.

Ответ: $0$.

Решение
Ответ