Комбинаторика

Решение.

Занумеруем предметы: фантик — 1, пуговица — 2, крышечка — 3, монета — 4. Закодируем способ разделить предметы числом, составленным из номеров предметов в одной из частей. Выпишем по возрастанию такие числа. $$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 12,\ 13,\ 14.$$ Отметим, что, например, число $21$ выписывать не нужно, так как мы уже учли этот способ, выписав $12$ (порядок, в котором идут предметы, по смыслу задачи не имеет значения). Так же не нужно выписывать, например, число $23$, так как этот способ мы тоже учли, выписав $14$ (в этом случае другая часть как раз и есть $23$).

Решение.

Занумеруем прямые от $1$ до $4$. Любые две из этих прямых могут пересечься, то есть для каждой пары прямых может быть своя точка пересечения. Выпишем по возрастанию все пары номеров. Вариант $21$ выписывать не нужно, так как если первая и вторая прямые пересекаются в какой-то точке, то вторая и первая прямые пересекаются в этой же точке. $$12,\ 13,\ 14,\ 23,\ 24,\ 34.$$ Получилось $6$ пар. Мы сделали оценку: больше шести точек пересечения быть не может. На рисунке приведен пример расположения четырех прямых с шестью точками пересечения.

Решение.

Представление $9 = 1 + 2 + 6$ закодируем трехзначным числом $126$. Выпишем в порядке возрастания все трехзначные числа, сумма цифр которых равна $9$. Заметим, что по условию, если мы выписали число $126$, то число $216$ выписывать не нужно. Отсюда делаем вывод, что достаточно выписать только те числа, цифры которых идут в порядке неубывания. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 117,\ 126,\ 135,\\ 144,\ 225,\ 234,\ 333. \end{gathered} \end{equation} $$

Решение.

Заметим, что в квадрате есть три типа клеток и занумеруем их: угловые (тип $1$), боковые (тип $2$) и центральная (тип $3$). Выпишем возможные варианты вырезать две клетки разных типов. $$11,\ 12,\ 13,\ 22,\ 23.$$ Для каждого варианта зарисуем способы вырезать клетки с учетом поворотов и переворотов.

Решение.

Занумеруем секретики Кроша $1,\ 2,\ 3$; и Ежика: $4,\ 5$. Они могут обменяться одним секретиком, в этом случае можно закодировать этот обмен двузначным числом, первая цифра которого будет обозначать секрет Кроша, а вторая — Ежика. Выпишем возможные варианты обмена по возрастанию. $$14,\ 15,\ 24,\ 25,\ 34,\ 35.$$ Еще друзья могут обменяться двумя секретиками. В этом случае Ежик обменяет все свои секреты, а значит, нужно выбрать, какие два секрета обменят Крош. Выпишем и эти варианты. $$12,\ 13,\ 23.$$ Всего получилось $9$ способов.

Решение.

Занумеруем треугольники так, как показано на рисунке. При этом цифрой $5$ обозначен большой треугольник.

Нам нужно оставить два треугольника. Закодируем способ оставить два треугольника двузначным числом, составленном из номеров треугольников. Выпишем все возможные варианты. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 23,\\ 24,\ 25,\ 34,\ \cancel{35},\ 45. \end{gathered} \end{equation} $$ Заметим, что оставить только третий и пятый треугольники не получится, так как в этом случае остаются и все остальные треугольники. Осталось $9$ способов.

Решение.

Занумеруем буквы: "а" — $1$, "р" — $2$, "ф" — $3$. В этом случае слово можно закодировать четырехзначным числом, составленным из цифр $1$, $1$, $2$ и $3$. Выпишем все такие числа по возрастанию. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 1123,\ 1132,\ 1213,\ 1231,\\ 1312,\ 1321,\ 2113,\ 2131,\\ 2311,\ 3112,\ 3121,\ 3211. \end{gathered} \end{equation} $$

Решение.

Точку обозначим цифрой $0$, а тире — цифрой $1$. Выпишем все возможные коды длины $4$ из нулей и единиц от самого маленького $0000$, до самого большого $1111$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 0000,\ 0001,\ 0010,\ 0011,\\ 0100,\ 0101,\ 0110,\ 0111,\\ 1000,\ 1001,\ 1010,\ 1011,\\ 1100,\ 1101,\ 1110,\ 1111. \end{gathered} \end{equation} $$

Решение.

Занимеруем девочек: $1$, $2$, $3$, $4$; и мальчиков: $5$, $6$. По условию в каждой команде должно быть по две девочки. Выпишем сначала способы разделить команду на две группы по три человека. В этом случае разбиение можно закодировать трехзначным числом, составленным из номеров людей в первой группе. Учтем, что порядок в группе не важен, то есть числа $125$ и $215$ кодируют одно и то же разбиение. Учтем еще, что два числа, в которых нет одинаковых цифр, например, $125$ и $346$, тоже кодируют одно и то же разбиение. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 125,\ 126,\ 135,\\ 136,\ 145,\ 146.\\ \end{gathered} \end{equation} $$ Теперь выпишем коды, соответствующие двум девочкам в одной группе и всем остальным в другой группе. Эти способы кодируются двузначным числом, состоящим из номеров девочек. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 12,\ 13,\ 14,\\ 23,\ 24,\ 34.\\ \end{gathered} \end{equation} $$ Всего получилось $12$ способов.

Решение.

Обозначим синюю страницу цифрой $0$, а черную — цифрой $1$. Нужную раскраску можно обозначить шестизначным кодом из нулей и единиц, в котором есть не более двух одинаковых цифр, идущих подряд. Выпишем сначала коды с ровно двумя единицами. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 001001,\ 001010,\ 001100,\\ 010010,\ 010100,\ 100100.\\ \end{gathered} \end{equation} $$ Если в этих кодах поменять нули на единицы, а единицы — на нули, то получатся все коды, в которых ровно четыре единицы. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 110110,\ 110101,\ 110011,\\ 101101,\ 101011,\ 011011.\\ \end{gathered} \end{equation} $$ Осталось выписать коды с тремя единицами. $$ \begin{equation} \begin{gathered} 001011,\ 001101,\ 010011,\\ 010101,\ 010110,\ 011001,\\ 011010,\ 100101,\ 100110,\\ 101001,\ 101010,\ 101100,\\ 110010,\ 110100. \end{gathered} \end{equation} $$ Всего получилось $26$ кодов.

Решение.

Будем перебирать дроби по возрастанию знаменателя. Выпишем все дроби со знаменателем $1$, они представляют собой целые числа. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{1},\ \dfrac{2}{1},\ \dfrac{3}{1},\\ \dfrac{4}{1},\ \dfrac{5}{1},\ \dfrac{6}{1},\\ \dfrac{7}{1},\ \dfrac{8}{1},\ \dfrac{9}{1}. \end{gathered} \end{equation} $$ Далее дроби со знаменателем $2$. Однако не нужно выписывать дроби с четными числителями, так как они равны целым числам, которые мы уже выписали. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{5}{2},\\ \dfrac{7}{2},\ \dfrac{9}{2}. \end{gathered} \end{equation} $$ Выпишем дроби со знаменателем $3$, кроме тех, числитель которых делится на $3$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{4}{3},\\ \dfrac{5}{3},\ \dfrac{7}{3},\ \dfrac{8}{3}. \end{gathered} \end{equation} $$ Выпишем дроби со знаменателем $4$, кроме тех, которые могут сократиться (все дроби с меньшими знаменателями мы уже выписали). $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{4},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{4},\\ \dfrac{7}{4},\ \dfrac{9}{4}. \end{gathered} \end{equation} $$ Продолжим выписывать дроби по возрастанию знаменателей, кроме тех, которые могут сократиться. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{5},\ \dfrac{2}{5},\ \dfrac{3}{5},\\ \dfrac{4}{5},\ \dfrac{6}{5},\ \dfrac{7}{5},\\ \dfrac{8}{5},\ \dfrac{9}{5}. \end{gathered} \end{equation} $$ Знаменатель $6$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{6},\ \dfrac{5}{6},\ \dfrac{7}{6}. \end{gathered} \end{equation} $$ Знаменатель $7$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{7},\ \dfrac{2}{7},\ \dfrac{3}{7},\\ \dfrac{4}{7},\ \dfrac{5}{7},\ \dfrac{6}{7},\\ \dfrac{8}{7},\ \dfrac{9}{7}. \end{gathered} \end{equation} $$ Знаменатель $8$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{8},\ \dfrac{3}{8},\ \dfrac{5}{8},\\ \dfrac{7}{8},\ \dfrac{9}{8}. \end{gathered} \end{equation} $$ Знаменатель $9$. $$ \begin{equation} \begin{gathered} \dfrac{1}{9},\ \dfrac{2}{9},\ \dfrac{4}{9},\\ \dfrac{5}{9},\ \dfrac{7}{9},\ \dfrac{8}{9}. \end{gathered} \end{equation} $$ Всего получилось $55$ раздичных дробей.