Задача 1
| В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Центральные и вписанные углы
Задача 2
| Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $16^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 3
| На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 32^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Вписанный треугольник
Задача 4
| Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $9^\circ$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 5
| Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $59^\circ$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 6
| Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $6,5$. Найдите $AC$, если $BC = 12$. |  |
|---|
Задача 7
| Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $20$. Найдите $BC$, если $AC = 32$. |  |
|---|
Задача 8
| В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 6$, $BC = 8$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. |  |
|---|
Задача 9
| Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. |  |
|---|
Задача 10
| Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника. | |
|---|
Задача 11
| В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $30^\circ$, $AB = 16$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. |  |
|---|
Задача 12
| В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$. Найдите сторону треугольника. |  |
|---|
Вписанные четырёхугольники
Задача 13
| Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0,8$. Диаметр описанной около него окружности равен $5$. Найдите площадь прямоугольника. |  |
|---|
Задача 14
| Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $31^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 15
| Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $32^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 16
| Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 17
| Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 18
| Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $33^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Задача 19
| Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. |  |
|---|
Задача 20
| Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $4\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата. | |
|---|
Задача 21
| Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2$. Найдите площадь квадрата $ABCD$. |  |
|---|
Задача 22
| Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$. Найдите угол $ABO$. Ответ дайте в градусах. |  |
|---|
Описанный треугольник
Задача 23
| Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника. |  |
|---|
Задача 24
| Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | |
|---|
Задача 25
| Периметр треугольника равен $33$, одна из сторон равна $7$, а радиус вписанной в него окружности равен $2$. Найдите площадь этого треугольника. |  |
|---|
Описанные четырехугольники
Задача 26
| Сторона квадрата равна $6$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. |  |
|---|
Задача 27
| Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $7$. | |
|---|
Задача 28
| Радиус вписанной в квадрат окружности равен $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата. |  |
|---|
Задача 29
| Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна $12$, а $\tg BCA = \dfrac{4}{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. |  |
|---|
Задача 30
| Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен $12$. Найдите высоту этой трапеции. |  |
|---|
Задача 31
| Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен $10$. Найдите высоту этой трапеции. |  |
|---|
Задача 32
| Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен $16$. Найдите высоту этой трапеции. |  |
|---|
Задача 33
| Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 6$, $BC = 8$, $CD = 11$. Найдите $AD$. |  |
|---|
Задача 34
| Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 7$, $BC = 5$, $CD = 17$. Найдите $AD$. |  |
|---|