№1–№5. Маршруты

Задача 1
Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревне Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда.
Чертёж к задаче

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники. По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью $20$ км/ч, а по лесной дорожке и тропинке  —  со скоростью $15$ км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна $1$ км.
1.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Населённые пункты Масловка Захарово Вёсенка
Цифры
2.
Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?
3.
Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.
4.
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
5.
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка.
Продукт Масловка Захарово Вёсенка Полянка
Молоко (1 л) $45$ $40$ $42$ $52$
Хлеб (1 батон) $29$ $28$ $31$ $22$
Сыр (1 кг) $250$ $270$ $290$ $280$
Говядина (1 кг) $350$ $380$ $360$ $390$
Картофель (1 кг) $35$ $25$ $32$ $24$
Саша с дедушкой хотят купить $2$ л молока, $2$ кг говядины и $4$ кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Задача 2
На рисунке изображён план сельской местности. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки.
Чертёж к задаче

Есть другой путь  —  по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью $50$ км/ч, а по просёлочным дорогам  —  со скоростью $30$ км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно $12$ км, от Доломино до Егорки  —  $4$ км, от Егорки до Ванютино  —  $12$ км, от Горюново до Ванютино  —  $15$ км, от Ванютино до Жилино  —  $9$ км, а от Жилино до Богданово  —  $12$ км.
1.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Деревни Ванютино Горюново Егорка Жилино
Цифры
2.
Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.
3.
Найдите расстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах.
4.
Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?
5.
На шоссе машина дедушки расходует $6,8$ литра бензина на $100$ км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на $100$ км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

№1–№5. Шины

Задача 3
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.
Чертёж к задаче
Рис. 1

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, $195/65\ R15$ (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер $B$ на рис. 2). Второе число  —  высота боковины шины $H$ в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой $195/65\ R15$ имеет ширину $B = 195$ мм и высоту боковины $H = 195 \cdot 0,65 = 126,75$ (мм).
Чертёж к задаче
Рис. 2

Буква $R$ означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях. За буквой $R$ следует диаметр диска $d$ в дюймах (в одном дюйме $25,4$ мм). Таким образом, общий диаметр колеса $D$ можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами $215/65\ R16$.
1.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
Диаметр диска (дюймы)
Ширина шины (мм) $16$ $17$ $18$
$215$ $215/65$ $215/60$  — 
$225$ $225/65$; $225/60$ $225/55$  — 
$235$ $235/60$ $235/55$; $235/50$ $235/50$
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен $17$ дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
2.
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку $275/70\ R16$?
3.
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами $235/50\ R18$?
4.
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
5.
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами $225/65\ R16$? Результат округлите до десятых.

№1–№5. Участки

Задача 4
Чертёж к задаче
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна $2$ м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью $24$ кв. м, а чуть подальше  —  жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой $6$).
Все дорожки внутри участка имеют ширину $1$ м и вымощены тротуарной плиткой размером $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1.
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других символов.
Объекты жилой дом баня гараж теплица
Цифры
2.
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по $10$ штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
3.
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
4.
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
5.
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Тип отопления Стоимость котла/нагревателя Стоимость монтажа Средний расход Стоимость газа/электро­энергии
Газовое $20\ 000\ \text{руб.}$ $15\ 370\ \text{руб.}$ $1,6\ \text{м}^3/\text{ч}$ $4,9\ \text{руб.}/\text{м}^3$
Электрическое $15\ 000\ \text{руб.}$ $14\ 000\ \text{руб.}$ $4,9\ \text{кВт}$ $4,2\ \text{руб.}/(\text{кВт} \cdot \text{ч})$
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

№1–№5. Листы

Задача 5
Чертёж к задаче
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника площадью $1$ кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата A1. Если лист A1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата A2 и т.д.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.
1.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5 и A6.
Номер листа Длина, мм Ширина, мм
$1$ $210$ $148$
$2$ $594$ $420$
$3$ $148$ $105$
$4$ $420$ $297$
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов. Ответ:
A2 A3 A5 A6
2.
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
3.
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4.
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного $10$.
5.
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по $500$ листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площадью $1$ кв. м равна $80$ г. Ответ дайте в граммах.

№1–№5. Печки

Задача 6
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина $3,5$ м, ширина $2,2$ м, высота $2$ м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной $60$ см, высота дверного проёма $1,8$ м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер печи Тип Объём помещения, $\text{м}^3$ Масса, кг Стоимость, руб.
$1$ дровяная $8$ – $12$ $40$ $18\ 000$
$2$ дровяная $10$ – $16$ $48$ $19\ 500$
$3$ электрическая $9$ – $15,5$ $15$ $15\ 000$
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в $6500$ руб.
1.
Установите соответствие между массами и номерами печей. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Масса, кг $15$ $40$ $48$
Номер печи
2.
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3.
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
4.
На дровяную печь, масса которой $40$ кг, сделали скидку $10\%$. Сколько рублей стала стоить печь?
5.
Чертёж к задаче Чертёж к задаче
Рис. 1 Рис. 2
Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки $R$. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

№1–№5. Квартиры

Задача 7
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует $0,4$ м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка.
Чертёж к задаче
Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора  —  дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение  —  гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1.
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Объекты коридор кладовая спальня гостиная
Цифры
2.
Найдите площадь кладовой. Ответ дайте в квадратных метрах.
3.
Паркетная доска размером $20$ см на $80$ см продаётся в упаковках по $14$ штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
4.
На сколько процентов площадь гостиной больше площади кладовой?
5.
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее $6$ кг. Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой? Стоимость доставки указана в процентах от цены машины.
Модель Вмести-мость барабана, кг Тип загрузки Цена, руб. Стоимость подключения, руб. Стоимость доставки, % Высота $\times$ ширина $\times$ глубина, см
А $7$ верт. $28\ 000$ $1700$ бесплатно $85 \times 60 \times 45$
Б $5$ фронт. $24\ 000$ $4500$ $10$ $85 \times 60 \times 40$
В $5$ фронт. $25\ 000$ $5000$ $10$ $85 \times 60 \times 40$
Г $6,5$ фронт. $28\ 000$ $4500$ $10$ $85 \times 60 \times 44$
Д $6$ фронт. $24\ 000$ $1700$ бесплатно $85 \times 60 \times 45$
Е $6$ верт. $27\ 600$ $2300$ бесплатно $89 \times 60 \times 40$
Ж $6$ верт. $27\ 585$ $1900$ $10$ $89 \times 60 \times 40$
З $6$ фронт. $20\ 000$ $6300$ $15$ $85 \times 60 \times 42$
И $5$ фронт. $27\ 000$ $1800$ бесплатно $85 \times 60 \times 40$
К $5$ верт. $27\ 000$ $1800$ бесплатно $85 \times 60 \times 40$
Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

№1–№5. Тарифы

Задача 8
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц $2019$ года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
Чертёж к задаче
В течение года абонент пользовался тарифом "Стандартный", абонентская плата по которому составляла $350$ рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа "Стандартный" входит:
  • пакет минут, включающий $300$ минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
  • пакет интернета, включающий $3$ гигабайта мобильного интернета;
  • пакет SMS, включающий $120$ SMS в месяц;
  • безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и SMS сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы $3$ руб./мин.
Мобильный интернет (пакет) $90$ руб. за $0,5$ ГБ
SMS $2$ руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил $110$ SMS.
1.
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите числа, соответствующие номерам месяцев, без пробелов, запятых и других дополнительных символов (например, для месяцев май, январь, ноябрь, август в ответ нужно записать число $51118$).
Мобильный интернет $1$ Гб $3$ Гб $3,25$ Гб $1,5$ Гб
Номер месяца
2.
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
3.
Сколько месяцев в $2019$ году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?
4.
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём $2019$ года?
5.
В конце $2019$ года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф $0$ руб.
Абонентская плата в месяц $440$ руб.
В абонентскую плату включены пакеты:
пакет исходящих вызовов $400$ минут
пакет мобильного интернета $4$ Гб
пакет SMS $120$ SMS
После расходования пакетов:
входящие вызовы $0$ руб./мин
исходящие вызовы* $4$ руб./мин
мобильный интернет (пакет) $180$ руб. за $0,5$ ГБ
SMS $2$ руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ.
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за $2019$ г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за $2019$ г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на $2020$ год.