Счёт углов

Задача 1
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла $3$, если $\angle 1 = 74^\circ$, $\angle 2 = 39^\circ$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 2
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$  —  биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 63^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 3
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$  —  биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 124^\circ$. Найдите величину угла $DMB$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 4
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $48^\circ$, угол $ABC$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 5
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 61^\circ$, $\angle D = 151^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 6
$ABCDEFGH$  —  правильный восьмиугольник. Найдите угол $EFG$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 7
$ABCDEFGHI$  —  правильный девятиугольник. Найдите угол $AIH$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 8
$ABCDEFGHIJ$  —  правильный десятиугольник. Найдите угол $HEJ$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче

Равнобедренный треугольник

Задача 9
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $142^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 10
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 12$, $AC = 32$.
Чертёж к задаче
Задача 11
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 10$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{5}$. Найдите длину стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 12
В треугольнике каждая из двух сторон равна $5$, а третья сторона равна $8$. Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 13
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$, $AC = 24$. Найдите длину медианы $BM$.
Чертёж к задаче
Задача 14
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 5$, медиана $BM = 3$. Найдите $\cos \angle BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 15
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $2$. Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{21}$. Найдите длину стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 16
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна $17$. Найдите длину стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 17
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $32$. Найдите длину стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 18
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 12$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$  —  биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
Чертёж к задаче
Задача 19
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 26$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
Чертёж к задаче
Задача 20
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $AC = 32$. Найдите синус угла $BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 21
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 22
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 25$, $\sin A = \dfrac{3}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 23
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 30$, $\tg A = \dfrac{4}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 24
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $40$, площадь треугольника равна $300$. Найдите длину боковой стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 25
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $12$, а $\tg A = \dfrac{12}{5}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 26
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $6$, а $\tg A = 0,3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 27
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 32$, $\tg A = \dfrac{5}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 28
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 10$, боковая сторона $BC = 26$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
Чертёж к задаче
Задача 29
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 9$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $40$. Найдите боковую сторону $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 30
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $25$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 31
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
Чертёж к задаче
Задача 32
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 80$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна $9$. Точка $P$  —  середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
Чертёж к задаче

Прямоугольный треугольник

Задача 33
Площадь прямоугольного треугольника равна $540$. Один из катетов равен $24$. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 34
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{17}$, а один из катетов равен $1$.
Чертёж к задаче
Задача 35
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 42$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 36
Катет прямоугольного треугольника равен $24$, одна из средних линий равна $3,5$. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 37
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{13}$, $\sin A = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 38
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0,96$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 39
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{19}$. Найдите $\cos B$.
Чертёж к задаче
Задача 40
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна $15$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{5}{12}$. Найдите длину стороны $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 41
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$. Площадь треугольника равна $20$. Найдите $\tg B$
Чертёж к задаче
Задача 42
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = \sqrt{21}$. Найдите $\sin A$.
Чертёж к задаче
Задача 43
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{29}$, $BC = 2$. Найдите $\tg A$.
Чертёж к задаче
Задача 44
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 17$, $\sin A = \dfrac{15}{17}$. Найдите длину стороны $AC$.
Чертёж к задаче
Задача 45
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $\cos A = 0,6$. Найдите длину стороны $BC$.
Чертёж к задаче
Задача 46
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 30$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 47
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 28$. Найдите длину катета $BC$.
Чертёж к задаче
Задача 48
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 15$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 49
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 34$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
Чертёж к задаче
Задача 50
В прямоугольном треугольнике катеты равны $15$ и $20$. Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 51
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$  —  высота, $BC = 16$, $\sin A = 0,25$. Найдите длину отрезка $BH$.
Чертёж к задаче
Задача 52
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $\cos A = 0,5$. Найдите высоту $CH$.
Чертёж к задаче
Задача 53
Катет прямоугольного треугольника равен $8$, отрезок, соединяющий середину гипотенузы и середину этого катета, равен $3$. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 54
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен $24$. Гипотенуза равна $25$. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
Чертёж к задаче
Задача 55
Катеты прямоугольного треугольника равны $10$ и $24$. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
Чертёж к задаче

Произвольный треугольник

Задача 56
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 88$, $BM$  —  медиана, $BH$  —  высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Чертёж к задаче
Задача 57
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{3} AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна $5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 58
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM : AB = 1 : 2$, а $BK : BC = 4 : 5$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
Чертёж к задаче
Задача 59
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 24$, $\sin A = \dfrac{4}{7}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
Чертёж к задаче
Задача 60
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 3\sqrt{19}$, $AC = 5\sqrt{19}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
Чертёж к задаче

Квадрат и прямоугольник

Задача 61
В прямоугольнике одна из сторон равна $21$, а диагональ равна $29$. Найдите площадь этого прямоугольника.
Чертёж к задаче
Задача 62
Площадь прямоугольника равна $660$, а одна из сторон равна $11$. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Чертёж к задаче
Задача 63
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $300$, сторона $AB = 9$. Найдите тангенс угла $CAD$.
Чертёж к задаче
Задача 64
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $48$, сторона $BC = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.
Чертёж к задаче
Задача 65
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $192$, сторона $BC = 12$. Найдите синус угла $CAB$.
Чертёж к задаче
Задача 66
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $21$, $\tg \angle CAD = 0,7$. Найдите площадь прямоугольника.
Чертёж к задаче
Задача 67
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $27$, $\tg \angle CAD = \dfrac{4}{9}$. Найдите площадь прямоугольника.
Чертёж к задаче
Задача 68
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 12$ и $AD = 17$, отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED$.
Чертёж к задаче

Ромб и параллелограмм

Задача 69
Сторона ромба равна $25$, одна из его диагоналей равна $40$. Найдите площадь ромба.
Чертёж к задаче
Задача 70
Одна из диагоналей ромба равна $6$, а его площадь равна $24$. Найдите сторону ромба.
Чертёж к задаче
Задача 71
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $22$. Найдите периметр ромба.
Чертёж к задаче
Задача 72
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $88$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Чертёж к задаче
Задача 73
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $36$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Чертёж к задаче
Задача 74
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.
Чертёж к задаче
Задача 75
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 4\sqrt{39}$, диагональ $BD = 20$. Найдите синус угла $BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 76
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $AC = \sqrt{19}$. Найдите синус угла $BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 77
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 3$, $BD = 3\sqrt{3}$. Найдите синус угла $ABD$.
Чертёж к задаче
Задача 78
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 44$. Найдите $BD$.
Задача 79
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $64$.
Чертёж к задаче
Задача 80
Найдите площадь ромба, если его высота равна $24$, а острый угол равен $30^\circ$.
Чертёж к задаче
Задача 81
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10$, сторона $AB = \sqrt{26}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 82
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 28$, площадь ромба равна $98$. Найдите тангенс угла $BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 83
В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $10$ и $24$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.
Чертёж к задаче
Задача 84
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 4$, а периметр параллелограмма равен $20$.
Чертёж к задаче
Задача 85
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 35$, $AC = 42$. Найдите $BD$.
Чертёж к задаче
Задача 86
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны $48$ и $14$. Найдите периметр параллелограмма.
Задача 87
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 10$, $AC = BD = 26$. Найдите площадь параллелограмма.
Чертёж к задаче
Задача 88
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$  —  середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 15$.
Чертёж к задаче
Задача 89
Стороны параллелограмма равны $10$ и $12$. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $6$. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Чертёж к задаче
Задача 90
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 1^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 91
Обе диагонали параллелограмма равны $13$. Одна из сторон параллелограмма равна $5$. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

Трапеция

Задача 92
В прямоугольной трапеции основания равны $3$ и $8$, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
Чертёж к задаче
Задача 93
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 13$. Найдите среднюю линию трапеции.
Чертёж к задаче
Задача 94
В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 52^\circ$ и $\angle BDC = 26^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 95
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 7$, а её площадь равна $45$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 96
Основания равнобедренной трапеции равны $10$ и $24$, боковая сторона равна $25$. Найдите высоту трапеции.
Чертёж к задаче
Задача 97
Основания равнобедренной трапеции равны $41$ и $69$, боковая сторона равна $50$. Найдите длину диагонали трапеции.
Чертёж к задаче
Задача 98
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно $3$, а другое  —  $7$. Высота трапеции равна $4$. Найдите тангенс острого угла трапеции.
Чертёж к задаче
Задача 99
Основания трапеции равны $8$ и $16$, боковая сторона, равная $6$, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
Чертёж к задаче

Окружности

Задача 100
Найдите величину вписанного угла, опирающегося на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{4}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 101
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 5^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $2$. Найдите длину большей дуги.
Чертёж к задаче
Задача 102
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$  —  диаметры. Вписанный угол $ACB$ равен $36^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 103
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$  —  диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 104
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 23$. Найдите диаметр окружности.
Чертёж к задаче
Задача 105
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$  —  диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 40$. Найдите радиус окружности.
Чертёж к задаче
Задача 106
На окружности радиуса $15$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$  —  диаметр окружности, $AC = 12$. Найдите $\cos \angle BAC$.
Чертёж к задаче
Задача 107
На окружности радиуса $10$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$  —  диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите $\sin \angle ABC$.
Чертёж к задаче
Задача 108
В окружности проведены пересекающиеся хорды $AB$ и $KM$. Величина дуги $AK$ равна $38^\circ$, а величина дуги $BM$ равна $42^\circ$. Чему равен угол между хордами $AB$ и $KM$? Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 109
На окружности радиуса $3$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$  —  диаметр окружности, $AC = 4\sqrt{2}$. Найдите длину хорды $BC$.
Чертёж к задаче
Задача 110
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 111
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 112
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 41^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче
Задача 113
В угол с вершиной $C$, равный $165^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
Чертёж к задаче