Задача 1
| В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $5$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. |  |
|---|
Прямоугольный параллелепипед
Задача 2
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $6$ и $4$, а объём параллелепипеда равен $240$. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. |  |
|---|
Призмы
Задача 3
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $3$, а гипотенуза равна $3\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна $5$. |  |
|---|
Задача 4
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны $5$ и $7$. Найдите объём призмы, если её высота равна $4$. | |
|---|
Задача 5
| Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. |  |
|---|
Пирамиды
Задача 6
| Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16$. А боковые рёбра равны $17$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |  |
|---|
Задача 7
| Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $2$, а высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды. |  |
|---|
Задача 8
| Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $10$, боковые рёбра равны $13$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |  |
|---|
Задача 9
| В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $2\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$. |  |
|---|
Задача 10
| В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 24$ и $AD = 3$. |  |
|---|
Задача 11
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $\sqrt{67}$. |  |
|---|
Задача 12
| Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами $9$ и $4$. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен $48$. |  |
|---|
Задача 13
| Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $6$. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$ и $P$ — середины рёбер соответственно. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$. |  |
|---|
Вершины, рёбра и грани
Задача 14
| Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней? |  |
|---|
Цилиндры
Задача 15
| Радиус основания цилиндра равен $15$, а его образующая равна $19$. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное $9$. Найдите площадь этого сечения. |  |
|---|
Задача 16
| Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно $2$ и $6$, а второго — $6$ и $4$. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого? |  |
|---|
Задача 17
| Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно $6$ и $14$, а второго — $7$ и $3$. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра? | |
|---|
Конусы
Задача 18
| Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен $10$. |  |
|---|
Задача 19
| Объём конуса равен $27$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. | |
|---|
Задача 20
| Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса. |  |
|---|
Задача 21
| Объём конуса равен $12\pi$, а радиус его основания равен $3$. Найдите высоту этого конуса. | |
|---|
Задача 22
| Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $2$ и $4$, а второго — $6$ и $8$. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса? |  |
|---|
Задача 23
| Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно $2$ и $9$, а второго — $2$ и $2$. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса? |  |
|---|
Шары
Задача 24
| Даны два шара с радиусами $3$ и $1$. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего? |  |
|---|
Задача 25
| Даны два шара с радиусами $9$ и $3$. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего? | |
|---|