MathStart | Задачник

Объём

Задача 1

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $50\ \text{см} \times 40\ \text{см} \times 40\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре $1000$ кубических сантиметров.

Задача 2

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания $20$ см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на $15$ см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Задача 3

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито $5$ л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в $1,4$ раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре $1000$ кубических сантиметров.

Задача 4

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Задача 5

В бак, имеющий форму цилиндра, налито $4$ л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в $1,5$ раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре $1000$ кубических сантиметров.

Задача 6

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна $90$ квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на $10$ см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Задача 7

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 60$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Задача 8

Высота бака цилиндрической формы равна $40$ см, а площадь его основания равна $150$ квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре $1000$ кубических сантиметров.

Задача 9

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен $810$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

Задача 10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен $90$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Задача 11

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен $25$ мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

Задача 12

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая — в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки меньше объёма первой?

Задача 13

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой?

Задача 14

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Задача 15

Однородный шар диаметром $3$ см имеет массу $162$ грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром $2$ см? Ответ дайте в граммах.

Площадь поверхности

Задача 16

Ящик, имеющий форму куба с ребром $40$ см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 17

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.), необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна $3$ м, длины стен дома равны $7$ м и $8$ м. Найдите, сколько рубероида (в квадратных метрах) нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши равны.

Задача 18

Прямолинейный участок трубы длиной $4$ м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен $17$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 19

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 20

Несколько ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна $15$ см, высота — $20$ см, а ширина — $75$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Подобие

Задача 21

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $220$ м, а высота пирамиды равна $104$ м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна $110$ см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

Вершины, рёбра и грани

Задача 22

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Задача 23

К кубу с ребром, равным $1$, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной $1$, так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Разные задачи

Задача 24

Для печати на 3D-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $4$ см, угол $60^\circ$, точка смены цвета — середина образующей. На каком расстоянии от вершины конуса будет отмечена точка смены цвета? Ответ дайте в сантиметрах.