Задача 1
а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sqrt{2} \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - 1 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
Задача 2
а) Решите уравнение $$2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x) = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Задача 3
а) Решите уравнение $$2\cos^2 x + 3\sin(x + \pi) - 3 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$.
Задача 4
а) Решите уравнение $$\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Задача 5
а) Решите уравнение $$2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\cdot \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \cdot \sin x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Задача 6
а) Решите уравнение $$\sqrt{3}\tg^2 x - 4\tg x + \sqrt{3} = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Задача 7
а) Решите уравнение $$2\cos x - 2\sqrt{3}\cos(-x) - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$.
Задача 8
а) Решите уравнение $$1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2\sin(x + \pi).$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Тригонометрические уравнения: разложение на множители
Задача 9
а) Решите уравнение $$\sin 2x + \sqrt{2} \sin(x + \pi) = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Задача 10
а) Решите уравнение $$\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Задача 11
а) Решите уравнение $$2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Задача 12
а) Решите уравнение $$2\sin^3 x = \sqrt{2} \cos^2 x + 2 \sin x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Задача 13
а) Решите уравнение $$\cos x \cdot \cos 2x = \sqrt{2} \sin^2 x + \cos x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.
Задача 14
а) Решите уравнение $$2\sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} = \sqrt{3} \sin^2 x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$.
Задача 15
а) Решите уравнение $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\cdot \sin(2\pi - x) + \sqrt{3} \cdot \sin 2x = \sqrt{6} \cdot \cos x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Однородные тригонометрические уравнения
Задача 16
а) Решите уравнение $$2\sqrt{3} \sin^2 \left(x + \dfrac{3\pi}{2}\right) + \sin 2x = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Тригонометрические уравнения: синус суммы
Задача 17
а) Решите уравнение $$2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.
Задача 18
а) Решите уравнение $$2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Задача 19
а) Решите уравнение $$2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]$.
Задача 20
а) Решите уравнение $$\cos^2 x + \sin^2 \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\ 6\pi\right]$.
Показательные уравнения
Задача 21
а) Решите уравнение $$8^x - 3\cdot 2^{x + 2} + 2^{5 - x} = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_4 5;\ \sqrt{3}\right]$.
Показательные тригонометрические уравнения
Задача 22
а) Решите уравнение $$27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Задача 23
а) Решите уравнение $$8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$.
Задача 24
а) Решите уравнение $$16^{\sin x} + 16^{\sin(x + \pi)} = \dfrac{17}{4}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Задача 25
а) Решите уравнение $$49^{\sin x} = \left(\dfrac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$.
Задача 26
а) Решите уравнение $$\dfrac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2} \sin x}}{\sqrt{11\sin x}} = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$.
Тригонометрические уравнения с логарифмами
Задача 27
а) Решите уравнение $$\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2 (\sin x)}{2\cos x + \sqrt{3}} = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Задача 28
а) Решите уравнение $$\log_9\left(3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2\right) = x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.