Задача 1

Аналог В листочек

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$  —  середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N = 6$.

Задача 2

Аналог В листочек

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6\sqrt{2}$, $AD = 10$, $AA_1 = 16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E : EA = 5 : 3$ и $B_1F : FB = 5 : 11$. Точка $T$  —  середина ребра $B_1C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Задача 3

Аналог В листочек

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E : EA = 1 : 2$, на ребре $BB_1$  —  точка $F$ так, что $B_1F : FB = 1 : 5$, а точка $T$  —  середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB = 2$, $AD = 6$, $AA_1 = 6$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.

Задача 4

Аналог В листочек

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB = 5$, $BC = 3$, $AA_1 = 4$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$, считая от вершины $B_1$.

Задача 5

Аналог В листочек

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$  —  квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10$, $AB = 12$.

Задача 6

Аналог В листочек

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = BN = 3$.
а) Точки $O$ и $O_1$  —  центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $CMN$.
б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $CMN$.

Задача 7

Аналог В листочек

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB = 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.
а) Докажите, что сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6$.

Задача 8

Аналог В листочек

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M = 2MA$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Задача 9

Аналог В листочек

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$  —  ромб.
а) Докажите, что точка $M$  —  середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.

Задача 10

Аналог В листочек

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный ($AB = BC$) треугольник $ABC$. Точка $K$  —  середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM : MC = 1 : 3$.
а) Докажите, что $KM \perp AC$.
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB = 6$, $AC = 8$ и $AA_1 = 3$.

Задача 11

Аналог В листочек

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$  —  середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярно отрезку $PQ$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AB = AA_1$, $AB : BC = 2 : 5$.

Задача 12

Аналог В листочек

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$  —  равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $2$.
а) Докажите, что точка $M$  —  середина ребра $A_1B_1$.
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $5$ и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K : KC_1 = 2 : 3$.

Задача 13

Аналог В листочек

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 2$. Четырёхугольник $AMKN$  —  равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3$.
а) Докажите, что точка $N$  —  середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $12$, а высота призмы равна $2$.

Задача 14

Аналог В листочек

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 2$, а точка $K$  —  середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC = 90^\circ$, $\angle ADC = 60^\circ$.

Задача 15

Аналог В листочек

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $4$. Точка $K$  —  середина ребра $A_1B_1$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.

Задача 16

Аналог В листочек

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$  —  середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Задача 17

Аналог В листочек

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM : MA = DN : NC = 1 : 2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.

Задача 18

Аналог В листочек

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT : TD = 2 : 1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

Задача 19

Аналог В листочек

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$  —  середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $2AN = 3NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL : LC$.

Задача 20

Аналог В листочек

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 4$, $SK : KB = 1 : 3$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

Задача 21

Аналог В листочек

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM : MB = CN : NB = 1 : 2$. Точки $P$ и $Q$  —  середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

Задача 22

Аналог В листочек

На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK : KC = 2 : 3$. Четырёхугольник $KLMN$  —  квадрат со стороной $2$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.

Задача 23

Аналог В листочек

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL : LC = AM : MB = AN : ND = 1 : 2$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$, $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2 : 1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $АВ = 6$.

Задача 24

Аналог В листочек

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$  —  центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 1 : 3$.
а) Докажите, что точка $M$  —  середина ребра $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.

Задача 25

Аналог В листочек

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}$?

Задача 26

Аналог В листочек

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$?

Задача 27

Аналог В листочек

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $8$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 2$, $SK = 1$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

Задача 28

Аналог В листочек

Точка $M$  —  середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ основания $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$.
а) Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN : NC = DL : LS$.
б) Плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN : NC = 1 : 3$.

Задача 29

Аналог В листочек

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM : MD = 2 : 1$. Точки $P$ и $Q$  —  середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

Задача 30

Аналог В листочек

Точка $M$  —  середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN : NB = 1 : 2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны $6$.

Задача 31

Аналог В листочек

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$  —  центр основания пирамиды, точка $M$  —  середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 1$, a $AB = 2$ и $SO = \sqrt{14}$.
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

Задача 32

Аналог В листочек

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN : NC = SK : KC = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.

Задача 33

Аналог В листочек

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$  —  точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$.
а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1 : 4$, считая от вершины $S$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.

Задача 34

Аналог В листочек

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$  —  точка $F$ так, что $SF = BE = 4$.
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

Задача 35

Аналог В листочек

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB = 2\sqrt{2}$, $BC = 4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$  —  середина отрезка $BQ$.
б) Найдите угол между плоскостями $SBA$ и $SBC$, если $SD = 4$.

Задача 36

Аналог В листочек

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, равными $8$ и $3$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM : MD = 3 : 2$, $BN : NC = 1 : 2$. Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $SK : KC = 6 : 1$.
б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Задача 37

Аналог В листочек

Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$, причём $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$. Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$  —  точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.
а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $KBCP$, если $AB = BC = CD = 4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $9$.

Задача 38

Аналог В листочек

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$  —  середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD = 10$, $BC = 8$, $SO = 8$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

Задача 39

Аналог В листочек

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB$ равна $2$, а боковое ребро $SA$ равно $8$. Точка $M$  —  середина ребра $AB$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $D$. Прямая $SC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$.
а) Докажите, что $KM = KD$.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.

Задача 40

Аналог В листочек

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB$ равна $5$, а боковое ребро $SA$ равно $9$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$, $AM = 1$, а точка $K$ лежит на ребре $SC$. Известно, что $MK = KD$.
а) Докажите, что плоскость $DKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите площадь треугольника $DKM$.

Задача 41

Аналог В листочек

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания  —  точка $C_1$, причём $CC_1$  —  образующая цилиндра, а $AC$  —  диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$.
б) Найдите объём цилиндра.

Задача 42

Аналог В листочек

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания  —  точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$  —  образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 20$, $BB_1 = 15$, $B_1C_1 = 21$.

Задача 43

Аналог В листочек

Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
а) Докажите, что $\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1,5$.
б) Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC = 1$, $\cos \angle ASC = \frac{2}{3}$.