Задача 1
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(5x - 2) \cdot \ln (x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $\left[0;\ 1\right]$.
Уравнения с параметром: исследование ОДЗ
Задача 2
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$$ имеет ровно один корень на отрезке $\left[0;\ 1\right]$.
Задача 3
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2 - 3x} \cdot \ln(16x^2 - a^2) = \sqrt{2 - 3x} \cdot \ln(4x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\ 1]$.
Задача 4
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x + 2a} \cdot \ln (x - a) = (x - 1) \cdot \ln(x - a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $\left[0;\ 1\right]$.
Задача 5
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x - 1} \cdot \ln\left(x^2 - 2x + 2 - a^2\right) = 0$$ имеет ровно один корень на отрезке $\left[0;\ 1\right]$.
Задача 6
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - 4x^2 + 9a^2} = x^2 + 2x - 3a$$ имеет ровно три различных корня.
Задача 7
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a + 2)x + 2a}$$ имеет ровно один корень на отрезке $\left[0;\ 1\right]$.
Задача 8
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\dfrac{4x^2 - a^2}{x^2 + 6x + 9 - a^2} = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 9
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a\left(x + \dfrac{4}{x}\right)^2 + 2\left(x + \dfrac{4}{x}\right) - 25a + 10 = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Уравнения с параметром, содержащие модуль
Задача 10
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$4^x + (a - 6)2^x = (3|a| + 2)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$$ имеет ровно один корень.
Задача 11
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2 + a^2 - x - 7a = |7x - a|$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 12
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$|x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 13
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9|x| = 0$$ имеет менее четырёх различных корней.
Задача 14
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^4 + (a - 3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|$$ имеет менее двух корней.
Задача 15
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(\left|x - a^2\right| + \left|x + 1\right|\right)^2 - 7\left(\left|x - a^2\right| + \left|x + 1\right|\right) + 4a^2 + 4 = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 16
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(4x + |x - a| - |3x + 1|\right)^2 - (a + 1)\left(4x + |x - a| - |3x + 1|\right) + 1 = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 17
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(|x - a - 1| + |x - a + 1|\right)^2 + a\left(|x - a - 1| + |x - a + 1|\right) + a^2 - 16 = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Задача 18
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(3x + |x - a| + |2x + a + 1|\right)^2 - a\left(3x + |x - a| + |2x + a + 1|\right) + a^2 - 16 = 0$$ имеет ровно один корень.
Задача 19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(4x - 3\left|x + a^2\right| + |x - 1| + 3a^2\right)^2 - (a + 1)\left(4x - 3\left|x + a^2\right| + |x - 1| + 3a^2\right) + 4 = 0$$ имеет ровно два различных корня.
Тригонометрические уравнения с параметром
Задача 20
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(2x + a + 1 - \tg x)^2 = (2x + a - 1 + \tg x)^2$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\ \pi]$.
Системы уравнений с параметром: исследование ОДЗ
Задача 21
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \left(xy^2 - 3xy - 3y + 9\right)\sqrt{3 - x} = 0,\\ y = ax \end{cases} $$ имеет ровно три различных решения.
Задача 22
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0,\\ y = ax - 10 \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 23
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \left(x^2 - 5x - y + 3\right)\cdot \sqrt{x - y + 3} = 0,\\ y = 3x + a \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 24
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \left(x^2 + y^2 + 4x\right) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0,\\ y = ax - 2a \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 25
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \log_{11}\left(a - y^2\right) = \log_{11}\left(a - x^2\right),\\ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 26
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - a^2x^2},\\ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Системы уравнений с параметром, содержащие модуль
Задача 27
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x + ay + a - 2 = 0,\\ x|y| + x - 2 = 0 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
Задача 28
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x^4 + y^2 = a^2,\\ x^2 + y = |2a - 4| \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 29
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} y = |x - a| - 4,\\ 4|y| + x^2 + 8x = 0 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 30
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x + y = a,\\ |y| = |x^2 - 2x| \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 31
Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} |x| + |y| = a,\\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 32
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \begin{cases} 2^{|x| + 3} + 7 \cdot |x| + 1 = 8y + 7x^2 + a,\\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
Системы уравнений с параметром: параболы и окружности
Задача 33
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\ x^2 + y = xy + x \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 34
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0,\\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 35
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} y = (a + 2)x^2 + 2ax + a - 2,\\ y^2 = x^2 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 36
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 6x + 8y - 9,\\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Задача 37
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x^4 - y^4 = 12a - 28,\\ x^2 + y^2 = a \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Задача 38
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 4(a + 1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0,\\ x^2 = y^2 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
Системы неравенств с параметром
Задача 39
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} 2a \leq x,\\ 6x > x^2 + a^2,\\ x + a \leq 6 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[4;\ 5\right]$.
Задача 40
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} a(x - 1) \geq 4,\\ 2\sqrt{x - 2} \geq a,\\ 3x < a + 14 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[4;\ 5\right]$.