Задача 1
| В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 8$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$. |  |
|---|
Призма
Задача 2
| В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 5$, $BC = 4$, $AA_1 = 3$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$. |  |
|---|
Задача 3
| Объём куба равен $80$. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. |  |
|---|
Задача 4
| Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен $15$. |  |
|---|
Задача 5
| Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $24$. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. | |
|---|
Задача 6
| Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $36$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. | |
|---|
Задача 7
| Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен $84$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы. |  |
|---|
Пирамида
Задача 8
| Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$. |  |
|---|
Задача 9
| Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $4$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$. |  |
|---|
Задача 10
| Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3$, $AD = 9$, $AA_1 = 4$. |  |
|---|
Задача 11
| В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$. |  |
|---|
Цилиндр и конус
Задача 12
| Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой. |  |
|---|
Задача 13
| Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен $15$. У второго цилиндра высота в $3$ раза меньше, а радиус основания в $2$ раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. | |
|---|
Задача 14
| Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в $9$ раз, а радиус основания останется прежним? |  |
|---|
Задача 15
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен $4$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? |  |
|---|
Задача 16
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса. |  |
|---|
Задача 17
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. | |
|---|
Задача 18
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём конуса. |  |
|---|
Задача 19
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен $6$. Найдите объём цилиндра. | |
|---|
Задача 20
| Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $2$. Найдите объём параллелепипеда. |  |
|---|
Шар и сфера
Задача 21
| Шар, объём которого равен $18$, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра. |  |
|---|
Задача 22
| Цилиндр, объём которого равен $18$, описан около шара. Найдите объём шара. | |
|---|
Задача 23
| Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $30$. Найдите площадь поверхности шара. | |
|---|
Задача 24
| Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен $60$. Найдите объём конуса. |  |
|---|
Задача 25
| Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен $12$. Найдите объём шара. | |
|---|
Задача 26
| Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы. |  |
|---|
Задача 27
| Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна $12$. Найдите площадь поверхности шара. |  |
|---|