15 декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $27$ млн рублей на $36$ месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3 \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря $2029$ года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в $2029$ году?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $7$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $0,819$ млн рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $5$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $7,5$ млн рублей?

15 декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на $24$ месяца. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3 \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря $2028$ года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $A$, если общая сумма платежей в $2028$ году составит $17\ 925$ тыс. рублей?

15 декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на $48$ месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря $2030$ года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма платежей в $2030$ году составит $3195$ тыс. рублей?

В июле $2016$ года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$  —  целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше $5$ млн рублей.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $11$ месяцев. Условия его возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $10$-й долг должен быть на $80$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• к $15$-му числу $11$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет $15$-го числа $10$-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1198$ тысяч рублей?

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1100$ тысяч рублей на $31$ месяц. Условия его возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $2\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $30$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• к $15$-му числу $31$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет $15$-го числа $30$-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1503$ тысячи рублей?

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $21$ месяц. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $20$-й долг должен быть на $30$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• к $15$-му числу $21$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит $1604$ тысячи рублей?

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $11$ месяцев. Условия его возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $10$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• $15$-го числа $10$-го месяца долг составит $300$ тысяч рублей;
• к $15$-му числу $11$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит $1388$ тысяч рублей?

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $900$ тысяч рублей на $11$ месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $10$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• $15$-го числа $10$-го месяца долг составит $200$ тысяч рублей;
• к $15$-му числу $11$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1021$ тысячу рублей.

В июле $2025$ года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2026$, $2027$, $2028$, $2029$ и $2030$ годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле $2030$ года долг должен составить $500$ тыс. рублей;
• в июле $2031$, $2032$, $2033$, $2034$ и $2035$ годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю $2035$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $2080$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в $2026$ году?

В июле $2025$ года планируется взять кредит на десять лет в размере $1400$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2026$, $2027$, $2028$, $2029$ и $2030$ годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле $2031$, $2032$, $2033$, $2034$ и $2035$ годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю $2035$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $2120$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в $2026$ году?

В июле $2025$ года планируется взять кредит на десять лет в размере $1300$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2026$, $2027$, $2028$, $2029$ и $2030$ годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле $2031$, $2032$, $2033$, $2034$ и $2035$ годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю $2035$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $2580$ тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле $2030$ года?

В июле $2025$ года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2026$, $2027$, $2028$, $2029$ и $2030$ годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле $2030$ года долг должен составить $600$ тыс. рублей;
• в июле $2031$, $2032$, $2033$, $2034$ и $2035$ годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю $2035$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $2360$ тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на десять лет в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года ($r$  —  целое число);
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2027$, $2028$, $2029$, $2030$ и $2031$ годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле $2031$ года долг должен составить $200$ тыс. рублей;
• в июле $2032$, $2033$, $2034$, $2035$ и $2036$ годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю $2036$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1480$ тыс. рублей. Найдите $r$.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $600$ тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $n$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• $15$-го числа $n$-го месяца долг составит $200$ тысяч рублей;
• к $15$-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $n$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $852$ тысячи рублей.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1\ 000\ 000$ рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $n$-й долг должен быть на $40$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• $15$-го числа $n$-го месяца долг составит $200$ тысяч рублей;
• к $15$-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1378$ тысяч рублей.

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на сумму $419\ 375$ рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $34\ 150$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит $311\ 040$ рублей?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $10 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $40\ 980$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по $58\ 564$ рубля, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $106\ 964$ рубля, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите $r$.

В июле $2020$ года планируется взять кредит в банке на сумму $200\ 000$ рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $130\ 000$ рублей, а во второй год  —  $150\ 000$ рублей.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;
• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в $2029$ году составит $833,8$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж $2027$ года?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;
• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1254,4$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж $2027$ года?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• платежи в $2027$ и в $2028$ годах должны быть по $500$ тыс. рублей;
• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна $1235,2$ тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• платежи в $2027$ и в $2028$ годах должны быть по $300$ тыс. рублей;
• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен $417,6$ тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $900$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• платежи в $2027$ и $2028$ годах должны быть равными;
• к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в $2029$ году составит $1027,2$ тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на пять лет в размере $825$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2027$, $2028$ и $2029$ годов долг остаётся равным $825$ тыс. рублей;
• выплаты в $2030$ и $2031$ годах равны;
• к июлю $2031$ года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2027$, $2028$ и $2029$ годов долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;
• выплаты в $2030$ и $2031$ годах равны по $338$ тыс. рублей;
• к июлю $2031$ года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

В июле $2026$ года планируется взять кредит на пять лет в размере $1050$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2027$, $2028$ и $2029$ годов долг остаётся равным $1050$ тыс. рублей;
• выплаты в $2030$ и $2031$ годах равны;
• к июлю $2031$ года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

В июле $2026$ года планируется взять кредит на пять лет в размере $6,6$ млн рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле $2027$, $2028$ и $2029$ годов долг остаётся равным $6,6$ млн рублей;
• выплаты в $2030$ и $2031$ годах равны.

Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит $12,6$ млн рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на $20\%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше $7$ млн рублей.

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10\%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на $3$ млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше $20$ млн рублей.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1,\ 2,\ \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на $10\%$. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1,\ 2,\ \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему $200$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,  —  $300$ рублей. Вадим готов выделять $1\ 200\ 000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Строительство нового завода стоит $78$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $(0,5x^2 + 2x + 6)$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + 2x + 6)$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за $3$ года?