Треугольники

Задача 1
Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK : KC = 1 : 2$.
а) Докажите, что $\angle BAC = 30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$  —  в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC = \sqrt{21}$.
Задача 2
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM = BC$ и $CN = AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$  —  медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$  —  в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC = 1$, а $AC = 5$.
Задача 3
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны.
б) Найдите отношение $AM : MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.
Задача 4
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC$, если $AB = 6$, $BC = 4$, $AC = 5$.
Задача 5
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK$.
б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD : DC = 5 : 2$.
Задача 6
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30^\circ$, отрезки $AH$ и $AM$  —  высота и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM$. Отрезок $MQ$  —  высота треугольника $AMC$, а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F$. Известно, что луч $AM$  —  биссектриса угла $CAH$.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $CMF$, если $AB = 8$.
Задача 7
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$  —  середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK : KB = 1 : 3$.
а) Докажите, что $AN = 2KM$.
б) Пусть $P$  —  точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP$, заключённого внутри треугольника $ABC$, если $AC = 6$, $BC = 8$.

Параллелограмм

Задача 8
В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE = CE$.
а) Докажите, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC = 8$, $\tg \angle BCA = \frac{1}{2}$.
Задача 9
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM : MC = 1 : 2$, $BN : ND = 1 : 3$.
а) Докажите, что $\cos \angle BAD = \frac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5$.
Задача 10
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM : MC = 1 : 2$, $BN : ND = 1 : 3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1 : 4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN = \sqrt{6}$.
Задача 11
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 21 : 10$, $BA_1 : A_1C = 2 : 3$, $AB_1 : B_1C = 2 : 5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$  —  параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 63$, $BC = 25$.
Задача 12
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = 30^\circ$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC = 9$.
Задача 13
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$  —  на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$.
а) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.

Трапеция

Задача 14
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$  —  биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC = 12$ и $BD = 6,5$.
Задача 15
Точка $E$  —  середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что $CO = KO$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$.
Задача 16
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM = DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Задача 17
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD = 15$ и $AC = 2\sqrt{61}$.
Задача 18
Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM = MO$, $CN = NO$.
а) Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение $AM : MB$, если $AO = OC$ и $BC : AD = 17 : 31$.
Задача 19
Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD$.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO = CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM : MB = 1 : 2$.
Задача 20
Сумма оснований трапеции равна $13$, а её диагонали равны $5$ и $12$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Описанная окружность

Задача 21
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Задача 22
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK = BE$.
б) Найдите отношение $KE : AC$, если $\angle BAD = 30^\circ$.
Задача 23
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите отношение $KE : BD$, если $\angle BAD = 60^\circ$.
Задача 24
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $CD$ в точках $K$ и $D$.
а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите $AD$, если $CE = 10$, $DK = 9$ и $\cos \angle BAD = 0,2$.
Задача 25
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$.
а) Докажите, что $AM = AN$.
б) Найдите отношение $CD : DN$, если $AB : BC = 1 : 2$, а $\cos \angle BAD = \frac{2}{3}$.
Задача 26
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$  —  середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$  —  высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.
Задача 27
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 8 : 3$, $BA_1 : A_1C = 1 : 2$, $AB_1 : B_1C = 1 : 3$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$  —  параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 16$, $BC = 15$.
Задача 28
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$  —  центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH = AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.
Задача 29
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.
Задача 30
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ = 16$, $QW = 12$, угол $PWQ$  —  острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$  —  прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Задача 31
В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC = 40^\circ$, $\angle ACB = 85^\circ$.
а) Докажите, что $BM = CN$.
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $6$.
Задача 32
Окружность с центром в точке $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ так, что $AK = 15$, $KL = 6$, $LB = 5$.
Задача 33
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$  —  параллелограмм.
а) Докажите, что $BC = DE$.
б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE = 4$, $AD = 7$, $BE = 8$ и $AB > BC$.
Задача 34
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
а) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.
Задача 35
В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$.
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = \sqrt{10}$, a $BC = 2BM$.
Задача 36
Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.
а) Докажите, что $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1 = 18$ и $\angle BAC = 30^\circ$.
Задача 37
В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$  —  середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM = 45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB = 2\sqrt{10}$.
Задача 38
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$  —  центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что $AP = BP$.
б) Найдите длину стороны $BC$, если $AB = 7$, $AC = 4$.

Вписанная окружность

Задача 39
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC = 7$, $AD = 23$.
Задача 40
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ$, $\angle NKL = \angle KLM = 120^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 1$.
Задача 41
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM : MB = CN : NB = 2 : 3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что $AB + BC = 4AC$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML = \frac{9}{5}$, $LN = 3$.
Задача 42
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60^\circ$.
Задача 43
Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$  —  диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.
б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC = 10$ и $AB = 24$.
Задача 44
Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$  —  диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $\angle ANB = 2\angle ABC$.
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$, если известно, что $AC = 14$ и $AB = 36$.
Задача 45
Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB = 10$, $BC = 9$, $CD = 30$, $AD = 39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.
Задача 46
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается её боковой стороны $CD$ в точке $M$. Луч $AM$ вторично пересекает окружность в точке $N$, а прямую $BC$  —  в точке $K$, причём $AN = 4$, $MN = 12$.
а) Докажите, что $\angle AMD = \angle MCK$.
б) Найдите меньшее основание трапеции.
Задача 47
Периметр треугольника $ABC$ равен $36$. Точки $E$ и $F$  —  середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что $AC = 9$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB = 90^\circ$.

Несколько окружностей

Задача 48
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$  —  точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC = 32$.
Задача 49
Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ c прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $3$ и $4$.
Задача 50
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и $15$.